行程问题（相遇问题） ** 甲、乙两地相距420千米，一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相向开出，客车每小时行60千米，货车每小时行80千米，几小时后两车相遇？相遇时，客车比货车少行了多少千米？
解题思路： 这是典型的“相遇问题”，核心公式是：路程和 = 速度和 × 相遇时间。
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求相遇时间：
- 两车的速度和是：客车速度 + 货车速度 = 60 + 80 = 140 (千米/小时)。
- 两车的总路程是420千米。
- 用总路程除以速度和,就可以求出相遇时间。
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求客车比货车少行的路程：
- 先分别算出两车在相遇时间内各自行驶的路程,再相减。
- 因为两车是同时出发并同时相遇的,所以它们行驶的时间是相同的，客车比货车少行的路程，就等于它们的速度差乘以行驶的时间。
详细解答：
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计算相遇时间：
- 速度和 = 60 + 80 = 140 (千米/小时)
- 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和 = 420 ÷ 140 = 3 (小时)
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计算客车比货车少行的路程：
- 客车行驶的路程 = 60 × 3 = 180 (千米)
- 货车行驶的路程 = 80 × 3 = 240 (千米)
- 少行的路程 = 240 - 180 = 60 (千米)
- 方法二（更简便）：
- 速度差 = 80 - 60 = 20 (千米/小时)
- 少行的路程 = 速度差 × 相遇时间 = 20 × 3 = 60 (千米)
答案： 3小时后两车相遇，相遇时客车比货车少行了60千米。
分数应用题（单位“1”的转化） ** 修一条路，第一天修了全长的 1/4，第二天修了余下的 1/3，还剩下600米没修，这条路全长多少米？
解题思路： 这道题的关键在于理解“余下的 1/3”是以谁为单位“1”的，第一天修完后，剩下的长度是单位“1”，第二天修了“余下的 1/3”。
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画出线段图辅助理解：
- 全长：-----------------
- 第一天修了：1/4
- 剩余：----------------- (这部分是 1 - 1/4 = 3/4)
- 第二天修了剩余的 1/3：也就是 (3/4) × (1/3) = 1/4
- 最后剩下的：600米，对应的是总长度的几分之几？
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计算剩余部分对应的分率：
- 总长度看作单位“1”。
- 第一天修了 1/4。
- 第二天修了 (1 - 1/4) × (1/3) = (3/4) × (1/3) = 1/4。
- 两天一共修了：1/4 + 1/4 = 1/2。
- 还剩下的部分是：1 - 1/2 = 1/2。
- 这剩下的 1/2 就对应题目中的600米。
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求全长：
用剩下的路程除以它对应的分率,就可以求出全长。
详细解答：
- 设这条路的全长为单位“1”。
- 第一天修了全长的 1/4。
- 第二天修了余下的 1/3，即 (1 - 1/4) × (1/3) = 3/4 × 1/3 = 1/4。
- 两天一共修了：1/4 + 1/4 = 1/2。
- 还剩下的部分是：1 - 1/2 = 1/2。
- 这 1/2 对应的长度是600米。
- 这条路的全长是：600 ÷ (1/2) = 600 × 2 = 1200 (米)。
答案： 这条路全长1200米。
逻辑推理问题（假设法） ** 学校买来一批图书，分给三个班，如果一班分得这批图书的 1/3，二班分得余下的 1/3，三班分得再余下的 1/3，最后还剩下20本，这批图书一共有多少本？
解题思路： 这道题可以反复使用单位“1”的转化，但也可以用更直观的“假设法”或“逆推法”来解决，这里我们用逆推法，从后往前推。
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明确单位“1”的变化：
- 开始时,总本数是单位“1”。
- 一班分走 1/3 后，剩下 2/3。
- 二班分走“余下的 1/3”，即分走了 (2/3) × (1/3) = 2/9，此时剩下 (2/3) × (2/3) = 4/9。
- 三班分走“再余下的 1/3”，即分走了 (4/9) × (1/3) = 4/27，此时剩下 (4/9) × (2/3) = 8/27。
- 最后剩下的20本,就对应总本数的 8/27。
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逆推法：
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我们从最后剩下的20本开始思考。
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这20本是在三班分走之前“再余下的”的 2/3 （因为三班分走了1/3）。
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在三班分之前,图书的数量是：20 ÷ (2/3) = 30 (本)。
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这30本是在二班分走之前“余下的”的 2/3 （因为二班分走了1/3）。
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在二班分之前,图书的数量是：30 ÷ (2/3) = 45 (本)。
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这45本是在一班分走之前总数的 2/3 （因为一班分走了1/3）。
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图书的总数是：45 ÷ (2/3) = 67.5 (本)。 （发现矛盾，说明逆推时对“余下”的理解要更精确）
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让我们用更清晰的分率法重新计算：
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总本数为“1”。
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一班分走 1/3，剩下 1 - 1/3 = 2/3。
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二班分走 (2/3) × (1/3) = 2/9，剩下 2/3 - 2/9 = 4/9。
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三班分走 (4/9) × (1/3) = 4/27，剩下 4/9 - 4/27 = 12/27 - 4/27 = 8/27。
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最后剩下的20本对应总本数的 8/27。
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总本数 = 20 ÷ (8/27) = 20 × (27/8) = (20/8) × 27 = 2.5 × 27 = 67.5 (本)。
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等等，67.5本不合理！说明题目可能有陷阱，或者我的理解有误，让我们重新审题。
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“分给三个班”，如果这样分，三班分完后应该分完才对，题目说“最后还剩下20本”，这20本通常理解为没有分给任何班。
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我们重新梳理分率：
- 总本数 = 1
- 一班分走：1/3
- 剩余：2/3
- 二班分走：余下的 1/3，即 (2/3) * (1/3) = 2/9
- 剩余：2/3 - 2/9 = 4/9
- 三班分走：再余下的 1/3，即 (4/9) * (1/3) = 4/27
- 剩余：4/9 - 4/27 = 8/27
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这8/27就是20本，所以总本数 = 20 / (8/27) = 20 * 27 / 8 = 540 / 8 = 67.5本。
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这道题本身设计有问题，因为图书本数不可能是小数，在奥数练习中，如果遇到这种情况，通常是题目描述有歧义或者数据错误，我们按照最常规的数学逻辑解答即可。
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修正后的题目（假设题目描述有误，应为“三班分得最后余下的全部”，但这样就没有20本了，另一种可能是“三班分得总数的1/3”）
让我们换一个经典题目来代替这个有问题的题目： ** 学校买来一批图书，分给三个班，如果一班分得这批图书的 1/3，二班分得总数的 1/4，三班分得总数的 1/6，还剩下20本，这批图书一共有多少本？
解题思路：就非常清晰了，所有班级分走的分率都是以“总数”为单位“1”的。
- 计算总共有几分之几被分走。
- 计算剩下的部分占总数的几分之几。
- 用剩下的本数除以它对应的分率，求出总数。
详细解答：
- 设图书总数为单位“1”。
- 一班分走：1/3
- 二班分走：1/4
- 三班分走：1/6
- 一共分走了：1/3 + 1/4 + 1/6
- 通分：分母为12。
- 1/3 = 4/12
- 1/4 = 3/12
- 1/6 = 2/12
- 一共分走了：4/12 + 3/12 + 2/12 = 9/12 = 3/4
- 还剩下的部分是：1 - 3/4 = 1/4
- 这 1/4 对应的长度是20本。
- 图书的总数是：20 ÷ (1/4) = 20 × 4 = 80 (本)。
答案： 这批图书一共有80本。
数论问题（余数问题） ** 有一个自然数，用它除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数最小是多少？
解题思路： 这是典型的“中国剩余定理”的简化应用，可以通过观察和列举来解决。
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分析条件：
- 条件1：除以3余2。
- 条件2：除以5余3。
- 条件3：除以7余2。
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寻找突破口：
- 观察条件1和条件3,发现余数都是2，这意味着这个数减去2之后，正好是3和7的公倍数。
- 3和7的最小公倍数是 3 × 7 = 21。
- 这个数可以表示为：
21 × k + 2的形式（其中k是非负整数）。
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代入第三个条件进行筛选：
- 我们现在只需要在
21 × k + 2这个数列中，找到一个满足“除以5余3”的数即可。 - 我们来尝试k的值：
- 当 k = 0 时，数为 21×0 + 2 = 2。 2 ÷ 5 = 0 ... 2 (余数不对)
- 当 k = 1 时，数为 21×1 + 2 = 23。 23 ÷ 5 = 4 ... 3 (余数对了！)
- 我们现在只需要在
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得出结论：
- 23这个数同时满足了所有三个条件。
- 因为我们在k=0,1,2...中从小到大寻找，所以23是最小的。
详细解答：
- 因为这个数“除以3余2”除以7余2”，所以这个数减去2后，一定是3和7的公倍数。
- 3和7的最小公倍数是 3 × 7 = 21。
- 满足前两个条件的数可以表示为：21, 42, 63, 84, ... (即21的倍数)，以及 21+2=23, 42+2=44, 63+2=65, ... (即21k+2)。
- 现在我们从这些数中找出第一个满足“除以5余3”的数。
23 ÷ 5 = 4 ... 3，余数正好是3。
- 这个自然数最小是23。
答案： 这个自然数最小是23。
希望这四道不同类型的奥数题及详细解答能对您有所帮助！学习奥数的关键在于理解题意，掌握解题的思想方法（如转化、假设、枚举等），并多加练习。
